El objetivo de este (mini)proyecto es entender la geometría del plano complejo, en particular, la descripción de círculos y rectas, y su relación con un conjunto específico de transformaciones del plano.
Este proyecto está dirigido a los estudiantes de la Generación Lev Landau del Instituto Heisenberg, 2017, y las soluciones sometidas serán evaluadas. A la persona que someta la mejor solución, por la claridad de las explicaciones además de su exactitud, se le otorgará una copia del libro "Talentos ocultos", de Margot Lee-Shetterly, durante la ceremonia de clausura del Instituto Heisenberg 2017.
Las soluciones deben ser sometidas por correo electrónico a la dirección del Instituto Heisenberg, instituto.heisenberg@gmail.com, con el asunto "Geometría del plano complejo", hasta el miércoles 7 de junio de 2017.
Denotaremos el plano complejo como C, es decir, el conjunto de números $latex z = x + yi$ visto en la Escuela del Instituto Heisenberg, donde x y y son reales. x es llamada la parte real, y y la parte imaginaria del número z. Recuerda que el conjugado del número complejo $latex z = x +yi$ es $latex \bar z = x - yi$, es decir, el resultado de cambiar el signo su parte imaginaria. Nota que un número real satisface $latex \bar z = z$, y que un número puramente imaginario (o sea, de la forma ib) satisface $latex \bar z = -z$.
Explica por qué podemos describir una recta en C como el conjunto de números z tales que
donde $latex b = \bar a$ y c es real, o $latex \bar b = -a$ y c es puramente imaginario.
Discute por qué podemos describir un círculo en C como el conjunto de números z tales que
donde $latex z_0\in\mathbf C, r>0$. $latex |z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ es el valor absoluto o módulo de un número complejo.
Establece condiciones en $latex a, b, c, d\in\mathbf C$ para que la ecuación
describa un círculo en el plano complejo C.
El punto al infinito en C, denotado por $latex \infty$, se entiende como el límite de z cuando |z| crece indefinidamente, en cualquier dirección. Así, todas las rectas en C pasan por $latex \infty$.
De hecho, una recta puede entenderse como un "círculo que pasa por $latex \infty$". Así, tres puntos distintos $latex z_1, z_2, z_3\in\mathbf C$ definen un círculo. Si los tres son colineales, o si uno de ellos es $latex \infty$, dicho círculo es una recta.
Una transformación lineal fraccionaria es una función en C de la forma
donde $latex a,b,c,d\in\mathbf C$ y $latex ad-bc\not=0$.
La transformación puede ser descrita por la matriz
Describe geométricamente las transformaciones asociadas a las matrices
Explica la razón de la condición $latex ad-bc\not=0$.
Si $latex T(z) = \dfrac{az+b}{cz+d}$ y $latex T(z)=w$, resuelve para z y calcula $latex z = T^{-1}(w)$.
Si $latex T(z) = \dfrac{az+b}{cz+d}$, muestra que
¿Qué ocurre si $latex c=0$?
Sean $latex z_1, z_2, z_3$ tres puntos distintos de C, y considera la transformación
Muestra que $latex S(z_1)=1, S(z_2)=0, S(z_3)=\infty$. Así, $latex S(z)$ es la transformación lineal fraccionaria que envía los tres puntos $latex z_1, z_2, z_3$ a $latex 1, 0, \infty$.
Describe $latex S(z)$ en el caso en que alguno de los puntos $latex z_1, z_2, z_3$ sea $latex \infty$.
Describe la transformación lineal fraccionaria que envía los puntos $latex z_1, z_2, z_3$ a los puntos $latex w_1, w_2, w_3$ (considera la inversa $latex S^{-1}$).
Es posible demostrar que las transformaciones lineales fraccionarias envían círculos a círculos en el plano complejo (incluyendo los que pasan por infinito, o sea, las rectas).
Utiliza lo visto anteriormente para obtener una transformación lineal fraccionaria que:
(Selecciona tres puntos de cada objeto, y calcula la transformación que envía los tres puntos del primero a los tres puntos del segundo).
Describe y dibuja la imagen de las rectas $latex x=h$ y $latex y=k$, donde h y k son enteros, bajo la transformación
Describe y dibuja la imagen de las rectas $latex y = mx$, con m cualquier número real (las rectas que pasan por el origen), bajo la transformación
Este proyecto está dirigido a los estudiantes de la Generación Lev Landau del Instituto Heisenberg, 2017, y las soluciones sometidas serán evaluadas. A la persona que someta la mejor solución, por la claridad de las explicaciones además de su exactitud, se le otorgará una copia del libro "Talentos ocultos", de Margot Lee-Shetterly, durante la ceremonia de clausura del Instituto Heisenberg 2017.
Las soluciones deben ser sometidas por correo electrónico a la dirección del Instituto Heisenberg, instituto.heisenberg@gmail.com, con el asunto "Geometría del plano complejo", hasta el miércoles 7 de junio de 2017.
Denotaremos el plano complejo como C, es decir, el conjunto de números $latex z = x + yi$ visto en la Escuela del Instituto Heisenberg, donde x y y son reales. x es llamada la parte real, y y la parte imaginaria del número z. Recuerda que el conjugado del número complejo $latex z = x +yi$ es $latex \bar z = x - yi$, es decir, el resultado de cambiar el signo su parte imaginaria. Nota que un número real satisface $latex \bar z = z$, y que un número puramente imaginario (o sea, de la forma ib) satisface $latex \bar z = -z$.
1
Explica por qué podemos describir una recta en C como el conjunto de números z tales que
$latex az + b\bar z + c = 0$,
donde $latex b = \bar a$ y c es real, o $latex \bar b = -a$ y c es puramente imaginario.
2
Discute por qué podemos describir un círculo en C como el conjunto de números z tales que
$latex |z - z_0| = r$,
donde $latex z_0\in\mathbf C, r>0$. $latex |z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ es el valor absoluto o módulo de un número complejo.
3
Establece condiciones en $latex a, b, c, d\in\mathbf C$ para que la ecuación
$latex a|z|^2 + bz + c\bar z + d = 0$
describa un círculo en el plano complejo C.
El punto al infinito en C, denotado por $latex \infty$, se entiende como el límite de z cuando |z| crece indefinidamente, en cualquier dirección. Así, todas las rectas en C pasan por $latex \infty$.
De hecho, una recta puede entenderse como un "círculo que pasa por $latex \infty$". Así, tres puntos distintos $latex z_1, z_2, z_3\in\mathbf C$ definen un círculo. Si los tres son colineales, o si uno de ellos es $latex \infty$, dicho círculo es una recta.
Una transformación lineal fraccionaria es una función en C de la forma
$latex T(z) = \dfrac{az + b}{cz + d}$,
donde $latex a,b,c,d\in\mathbf C$ y $latex ad-bc\not=0$.
La transformación puede ser descrita por la matriz
$latex \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}.$
4
Describe geométricamente las transformaciones asociadas a las matrices
$latex \begin{pmatrix}1&b\\0&1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}a&0\\0&1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}.$
5
Explica la razón de la condición $latex ad-bc\not=0$.
6
Si $latex T(z) = \dfrac{az+b}{cz+d}$ y $latex T(z)=w$, resuelve para z y calcula $latex z = T^{-1}(w)$.
7
Si $latex T(z) = \dfrac{az+b}{cz+d}$, muestra que
$latex T(\infty) = \dfrac{a}{c}$ y $latex T(-\dfrac{d}{c}) = \infty$.
¿Qué ocurre si $latex c=0$?
Sean $latex z_1, z_2, z_3$ tres puntos distintos de C, y considera la transformación
$latex S(z) = \dfrac{z-z_2}{z-z_3}\cdot\dfrac{z_1-z_3}{z_1-z_2}.$
8
Muestra que $latex S(z_1)=1, S(z_2)=0, S(z_3)=\infty$. Así, $latex S(z)$ es la transformación lineal fraccionaria que envía los tres puntos $latex z_1, z_2, z_3$ a $latex 1, 0, \infty$.
9
Describe $latex S(z)$ en el caso en que alguno de los puntos $latex z_1, z_2, z_3$ sea $latex \infty$.
10
Describe la transformación lineal fraccionaria que envía los puntos $latex z_1, z_2, z_3$ a los puntos $latex w_1, w_2, w_3$ (considera la inversa $latex S^{-1}$).
Es posible demostrar que las transformaciones lineales fraccionarias envían círculos a círculos en el plano complejo (incluyendo los que pasan por infinito, o sea, las rectas).
11
Utiliza lo visto anteriormente para obtener una transformación lineal fraccionaria que:
- envíe la recta real al círculo unitario con centro en el origen;
- envíe el círculo unitario con centro en el origen a la recta imaginaria;
- envíe el círculo $latex |z - 1|=1$ a la recta diagonal $latex x=y$.
(Selecciona tres puntos de cada objeto, y calcula la transformación que envía los tres puntos del primero a los tres puntos del segundo).
12
Describe y dibuja la imagen de las rectas $latex x=h$ y $latex y=k$, donde h y k son enteros, bajo la transformación
$latex T(z) = \frac{1}{z}$.
13
Describe y dibuja la imagen de las rectas $latex y = mx$, con m cualquier número real (las rectas que pasan por el origen), bajo la transformación
$latex T(z) = \dfrac{z+1}{z-1}$.