Aquí publicamos la segunda lista de problemas, de la cual esperamos su solución. Sus respuestas serán consideradas en la selección de los participantes al internado de investigación del Instituto durante este verano.
Resuelve los siguientes problemas. Utiliza todo el material que consideres adecuado pero resuélvelos de manera individual. Trata de incluir los detalles de tus razonamientos e ideas de manera organizada. El propósito no es solo el de obtener una respuesta correcta, también es importante ver el razonamiento, la creatividad y la originalidad de tus intentos. La utilización de herramientas computacionales es recomendada.
Tienes que considerar que la solución a estos problemas no la vas a obtener de manera inmediata. Se requerirá que les dediques tiempo y esfuerzo. Las soluciones no son un simple si o no o un número. La idea es que los desmenuces, los aprecies y los disfrutes.
La fecha límite para la entrega (via electrónica al correo instituto.heisenberg@gmail.com ) de las soluciones es el 30 de junio.
Considera tres números complejos $latex z_1, z_2$ y $latex z_3$ distintos que satisfacen la ecuación
Muestra que $latex z_1, z_2$ y $latex z_3$ son los vértices que un triángulo equilátero en el plano.
La evolución mensual de una población de parejas de conejos puede describirse mediante la sucesión de Fibonacci $latex 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987,\ldots$. Existe una receta para construir una sucesión de rectángulos, pegando cuadrados cuyas aristas tengan de longitud elementos contiguos de esta sucesión,tal como se muestra en la figura.(Mientras mayor sea el rectángulo, más parecido seá a un rectángulo áureo).
Por otra parte, con los términos de la sucesión de Fibonacci podemos construir la suma
donde $latex f_n$ es el $latex n$-ésimo elemento en la sucesión de Fibonacci. ¿Qué relación existe entre la suma $latex S_n$ y el área del $latex n$-ésimo rectángulo construido mediante la receta aquí descrita?
Para una compañía tener ganancias cercanas a cierto valor inferior constante $latex g_i$ significa ser poco competitiva. En cambio, tener ganancias cercanas a cierto valor superior constante $latex g_s>g_i$ significa pagar un impuesto demasiado alto. Los economistas de la empresa han diseñado un esquema que les permite que la ganancia, $latex g$, evolucione manteniéndose la mayor parte del tiempo cerca de un valor óptimo. ¿Cuál de los siguientes modelos matemáticos describe ese esquema?
$latex C$ es una constante positiva que resume los factores que permiten el crecimiento de la ganancia. Explica tu respuesta.
Considera la recurrencia
Encuentra $latex x_{35}$ con los siguientes valores iniciales:
Compara los resultados. Repite todo el análisis anterior con esta otra recurrencia:
¿Cuál de las dos recurrencias podría ser clasificada como caótica? Explica tu respuesta.
Instrucciones
Resuelve los siguientes problemas. Utiliza todo el material que consideres adecuado pero resuélvelos de manera individual. Trata de incluir los detalles de tus razonamientos e ideas de manera organizada. El propósito no es solo el de obtener una respuesta correcta, también es importante ver el razonamiento, la creatividad y la originalidad de tus intentos. La utilización de herramientas computacionales es recomendada.
Importante
Tienes que considerar que la solución a estos problemas no la vas a obtener de manera inmediata. Se requerirá que les dediques tiempo y esfuerzo. Las soluciones no son un simple si o no o un número. La idea es que los desmenuces, los aprecies y los disfrutes.
La fecha límite para la entrega (via electrónica al correo instituto.heisenberg@gmail.com ) de las soluciones es el 30 de junio.
Problemas
Problema 1
Considera tres números complejos $latex z_1, z_2$ y $latex z_3$ distintos que satisfacen la ecuación
$latex \dfrac{z_2 - z_1}{z_3 - z_1} = \dfrac{z_1 - z_3}{z_2 - z_3}.$
Muestra que $latex z_1, z_2$ y $latex z_3$ son los vértices que un triángulo equilátero en el plano.
Problema 2
- Describe el efecto que tiene la transformación $latex z\mapsto\dfrac{4}{z}$ en la banda
$latex \{z\in\mathbb C: 1 < \Re z < 2 \},$
los números complejos con parte real entre 1 y 2. - Considera ahora los círculos $latex C_n = \{z\in\mathbb C: |z - \big(\dfrac{3}{2}+ ni\big)| = \dfrac{1}{2}\}$, para $latex n\in\mathbb Z$. Es decir, cada $latex C_n$ es un círculo con centro en $latex \dfrac{3}{2}+ ni$ y radio $latex \dfrac{1}{2}$, donde $latex n$ es cualquier entero (positivo, negativo o cero). Los círculos $latex C_n$ son tangentes a las rectas $latex \Re z = 1$ y $latex \Re z = 2$, y cada dos consecutivos son tangentes entre ellos, como se muestra en la figura.
Dibuja la imagen de la figura anterior, es decir, de la sucesión de círculos $latex C_n$, bajo la transformación $latex z\mapsto\dfrac{4}{z}.$
Problema 3
La evolución mensual de una población de parejas de conejos puede describirse mediante la sucesión de Fibonacci $latex 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987,\ldots$. Existe una receta para construir una sucesión de rectángulos, pegando cuadrados cuyas aristas tengan de longitud elementos contiguos de esta sucesión,tal como se muestra en la figura.(Mientras mayor sea el rectángulo, más parecido seá a un rectángulo áureo).
Por otra parte, con los términos de la sucesión de Fibonacci podemos construir la suma
$latex S_n = 0^2 + 1^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2 + 5^2 + \cdots + f_n^2,$
donde $latex f_n$ es el $latex n$-ésimo elemento en la sucesión de Fibonacci. ¿Qué relación existe entre la suma $latex S_n$ y el área del $latex n$-ésimo rectángulo construido mediante la receta aquí descrita?
Problema 4
Para una compañía tener ganancias cercanas a cierto valor inferior constante $latex g_i$ significa ser poco competitiva. En cambio, tener ganancias cercanas a cierto valor superior constante $latex g_s>g_i$ significa pagar un impuesto demasiado alto. Los economistas de la empresa han diseñado un esquema que les permite que la ganancia, $latex g$, evolucione manteniéndose la mayor parte del tiempo cerca de un valor óptimo. ¿Cuál de los siguientes modelos matemáticos describe ese esquema?
- $latex \dfrac{dg}{dt} = C(g_s-g)(g-g_i)$
- $latex \dfrac{dg}{dt} = C(g_s-g)+C(g_i-g)$
$latex C$ es una constante positiva que resume los factores que permiten el crecimiento de la ganancia. Explica tu respuesta.
Problema 5
Considera la recurrencia
$latex x_{n+1} = 3.6x_n^2.$
Encuentra $latex x_{35}$ con los siguientes valores iniciales:
- $latex x_0=0.277777777$;
- $latex x_0=0.277777778$; y
- $latex x_0=0.277777779$.
Compara los resultados. Repite todo el análisis anterior con esta otra recurrencia:
$latex x_{n+1} = 3.6x_n(1-x_n).$
¿Cuál de las dos recurrencias podría ser clasificada como caótica? Explica tu respuesta.